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Le coût marginal

  Le coût marginal correspond au coût de la production d'une unité supplémentaire. En pratique, on s'intéresse plutôt au coût d'une série supplémentaire.
En effet, dans l'industrie notamment, on lance plutôt une série supplémentaire qu'une unité supplémentaire.
Nous verrons que cette différence entre la théorie et la réalité pose problème pour la démonstration mathématique de la définition du coût marginal.

En conséquence, d'un point de vue général on peut définir ainsi le coût marginal :

Coût marginal = (coût n +1) - (coût n)

Par définition, il comporte toujours des charges variables (puisqu'il y a accroissement de la production). C'est notamment le cas de la consommation de matières 1ères ou de MOD.

Rappelons que les charges variables sont proportionnelles à l'activité. Ces charges variables peuvent être directes ou indirectes.

Le coût marginal peut également comporter des charges fixes. En effet, il peut arriver qu'il faille modifier la structure pour produire une unité (ou une série) supplémentaire).

Rappelons que les charges fixes peuvent varier sur une période mais qu'elles ne sont pas proportionnelles à l'activité. On peut imaginer par exemple qu'il faille agrandir une usine pour augmenter la production. Cela pourra se traduire par des amortissements supplémentaires, par un salaire fixe d'encadrement...

Une entreprise fabrique un produit de grande consommation.
Il est vendu 150 Euros l'unité.
La fabrication est effectuée par lancement de séries de 10 000 produits chacune.
Dans un tableau ci-dessous, on trouve la synthèse les coûts de production, élaborée par le contrôleur de gestion.

 

Quantités fabriquées Coût total de production
10 000 1 780 000
20 000 3 200 000
30 000 4 320 000
40 000 5 170 000
50 000 5 942 500
60 000 6 993 000
70 000 8 319 500
80 000 10 616 000
90 000 13 189 500
100 000 16 400 000

 

1) Calculez le coût marginal total et le coût marginal unitaire pour chaque niveau de production.

Quantités fabriquées Coût total de production Coût unitaire moyen Coût marginal total Coût marginal unitaire
n C C/n C (n+1) – C (n) (Cmu) (1)
10 000 1 780 000

178,00

1 780 000

178,00 (2)

20 000 3 200 000

160,00

1 420 000

142,00 (3)

30 000 4 320 000

144,00

1 120 000

112,00

40 000 5 170 000

129,25

850 000

85,00

50 000 5 942 500

118,85

772 500

77,25

60 000 6 993 000

116,55

1 050 500

105,05

70 000 8 319 500

118,85

1 326 500

132,65

80 000 10 616 000

132,70

2 296 500

229,65

90 000 13 189 500

146,55

2 573 500

257,35

100 000 16 400 000

164,00

3 210 500

321,05

(1) Coût marginal unitaire = Coût marginal total/ Variation de n

(2) = 1 780 000 / ( 10 000 - 0)

(3) = (1 420 000 - 1 780 000) / (20 000 - 10 000)

NB) On s'aperçoit que le coût marginal unitaire diminue dans un premierer temps puis augmente dans un deuxième temps. Dans la plupart des cas c'est ainsi que cela se passe. Dans cet exemple, l'augmentation du coût marginal unitaire intervient à partir d'une production de 60 000 produits. Cela est donc probablement dû au fait que la structure doit être modifiée pour arriver à cette production. On s'aperçoit aussi qu'à partir de 60 000 (et par tranche de 10 000), il est en constante augmentation.

2) Représentez sur un même graphique, le coût unitaire moyen, le coût marginal unitaire et le prix de vente unitaire.


3. Optimum Technique

Dans cet exemple, le coût unitaire moyen minimum est atteint pour une production de 60 000 articles.
A ce stade de production il est égal à 116,55 Euros.
Pour 60 000 articles le bénéfice unitaire serait de : 150 - 116,55 = 33,45 Euros

Bien voir qu'avec 60 000 articles le bénéfice total serait de : 33,45 * 60 000 = 2 007 000
ou : (150 * 60 000) - 6 993 000 = 2 007 000

Le coût total de production ( C ) est fonction des quantités produites. Soit x le nombre d'unités produites.

On a donc : C = f (x)

Le coût marginal unitaire ( CMu ) est égal à la dérivée du coût total.

On a donc : CMu = f '(x)

Le coût moyen unitaire ( a ) est égal au coût total divisé par les quantités totales produites.

On a donc : a = C/x = f (x) / x

L'optimum de productivité ou Optimum Technique "OT".

Il est atteint lorsque le coût unitaire moyen est minimum (à ce stade, le bénéfice unitaire sera donc maximum). Nous cherchons donc le minimum de la fonction définie ci-dessus ( a = f (x) / x ), que l'on obtient par dérivation de cette fonction.


x f ' (x) = f (x)

f ' (x) = f (x) / x

Autrement dit, nous venons d'écrire que d'un point de vue mathématique pur, le coût moyen est minimum quand il atteint le coût marginal unitaire.

En effet, nous avions bien défini:

- Le coût moyen par : f (x) / x
- Le coût marginal unitaire par : f ' (x)

Remarque très importante.

Si l'on applique la définition générale de l'OT à l'exemple du cours, il y a un problème !
En effet, dans cet exemple:

- Le coût moyen est minimum pour une production de 60 000 et il est égal à 116,55

Donc si on suit la démonstration mathématique, pour une production de 60 000 articles le coût marginal unitaire devrait être aussi égal à 116,55.
Or on s'aperçoit que ce n'est pas le cas !
En effet, pour une production de 60 000 articles le coût marginal unitaire est de 105,05 !

Pourquoi cette différence entre la théorie mathématique et la réalité ?
Simplement parce que dans cet exemple les coûts sont donnés par série de 10 000 et non par unité. Donc les coûts marginaux sont aussi pour 10 000 unités !

Or une dérivée permet de connaître la variation de la fonction pour une variation infinitésimale de "x"
Ici nous en sommes très loin. Nous ne pouvons pas dire que des "pas" de 10 000 représentent des variations infinitésimales !


Conclusion sur l'OT :

Si dans un énoncé, le coût total est exprimé sous forme de fonction (le plus souvent cette fonction est de la forme: y = a x2 + b), on applique la démonstration mathématique:

- On calcule le coût moyen unitaire => (a x2 + b) / x
- On calcule la dérivée du coût moyen unitaire => a + (b/x2)
- La valeur qui annule cette dérivée représente les quantités pour lesquelles le coût moyen est minimum. Ces quantités représentent aussi l'OT.

Dans le cas contraire, l'énoncé donne des valeurs pour chaque série. On considérera alors que l'OT est atteint lorsque le coût moyen unitaire minimum.

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