L'implication floue

Cette page est un exemple de l'implication floue, dont il est fait mention dans l'article de Dominique Gentili sur la logique floue. La logique floue définit la notion d'implication floue (une implication est de la forme "Si A, alors B"). Il y a de nombreuses manières de la définir en logique floue et elle a fait l'objet de beaucoup de travaux de recherche.

Rappelons qu'en logique classique l'implication est définie par la table de vérité suivante :

En guise d'exemple, penchons-nous sur l'implicationsuivante : "Si une firme est rentable, le prix de son action est élevé".

L'appréciation de la rentabilité se fait ici selon le taux de marge. Une entreprise est tout-à-fait "rentable" si son taux de marge est à peu près entre 15% et 25 %. En-deça de 10%, elle n'est plus du tout considérée comme "rentable". Idem au-dessus de 30%.

L'appréciation de la chèreté de l'action se fait ici par son PER. Le prix de l'action est tout-à-fait "élevé" si son PER est à peu près entre 20 et 25. En-deça de 15, il n'est plus du tout considéré comme "élevé". Idem au-dessus de 30.

Table de vérité de l'implication floue "Si l'entreprise est rentable, alors le prix de l'action est élevé" (utilisant les normes et co-normes de Lukasiewicz). Elle est définie par la fonction f_RL(x,y)=min(1-f_TauxMarge(x)+f_per(y);1)

En marge du tableau, on trouvera les fonctions d'appartenance pour le taux de marge et le PER.

Exemple 1 :

• x=Taux de marge=12,5%
• y=PER=28

• Taux de marge élevé (niveau 0,5)
• Prix élevé (niveau 0,4)

• f_RL(x,y)=min(1-0,5+0,4;1)=0,9

Exemple 2 : dans cet exemple, l'implication est moins vraie. On pouvait s'attendre à un niveau d'appartenance plus élevé que 0,4 pour le prix.

• x = Taux de marge = 26%
• y = PER = 28

• Taux de marge élevé (niveau 0,8)
• Prix élevé (niveau 0,4)

• f_RL(x,y)=min(1-0,8+0,4;1)=0,6

Modus ponens généralisé

Soit l'implication A => B . Si A, alors B. Mais si on modifie A, que peut-on déduire quant à B ? Reprenons l'exemple précédent : "Si une firme est rentable, le prix de son action est élevé". Et si une firme est "vraiment rentable", que peut-on déduire quant au prix de son action ? En logique floue on utilise fréquemment un certain nombre de modificateurs ("plus ou moins", "approximativement", "environ") qui permettent de nuancer les prémisses, comme plus haut, et, qui permet généralement au modus ponens de nuancer les conclusions.

On définit ici le sous-ensemble flou "Vraiment rentable" par modification de "Rentable". Si une firme est vraiment rentable ...

On applique ici le modus ponens généralisé pour "Vraiment rentable" (en utilisant encore les normes et co-normes de Lukasiewicz). Le sous-ensemble flou obtenu est identique à "Prix élevé". Donc : ...Le prix de son action est élevé.

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