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La logique floue
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Logique floue : parlons clair !

L'auteur : Diplômé de l’Institut Commercial de Nancy, Dominique Gentili cultive et expérimente des savoir-faire dans le domaine de l’informatique appliquée au management et à la prise de décision. Il a conçu, développé et conduit d’importants projets systèmes d’information en utilisant des techniques avancées telles que les approches objets, le calcul flou et les réseaux neuronaux.

Il a longtemps enseigné dans différentes institutions éducatives, écoles de management et universités dispensant des cours dans les domaines de la conception et le développement d’applicatifs de gestion et d’aide à la prise de décision.

Il est aujourd'hui développeur-consultant spécialisé dans les solutions d'aide à la décision à base de logique floue.

Sites de l'auteur : dgentili.freesurf.fr, fuzzyworks.fr


Introduction à la logique floue

La logique floue est un ensemble de théories mathématiques qui traite de la représentation et de la manipulation de connaissances imparfaites (imprécises, incertaines voire incomplètes).

Illustrons par l'exemple ces imperfections :

  • Je crois que cette firme réalise du profit.
    Incertitde... "Je crois, mais ce n'est pas sûr." (validité de l'observation)
  • Le taux de marge de cette firme est important.
    Imprécision... Que signifie "important" ? (appréciation)
  • Le taux de marge de cette firme est d'environ 20%.
    Imprécision... "Peut-être est-ce 18%,19,5%,22%." (mesure)
  • Je ne sais pas si cette firme exporte.
    Incomplétude... Absence d'informations
  • La majorité des firmes de ce secteur réalisent des marges d'environ 20%.
    Incomplétude... Il est possible que la firme en question fasse partie du cas général.

La logique floue fournit un cadre théorique de représentation et de traitement de ces données avec leurs imperfections. Elle ne cherche pas à les éliminer ; au contraire, elle cherchera à les préserver au maximum. Son but est donc d'assouplir les cadres de représentation et de traitement des connaissances, s'inspirant ainsi des processus mentaux humains.

Les applications pratiques de la logique floue sont nombreuses. On citera : automatisme, robotique, systèmes experts, aide à la décision et de manière générale ce qui a trait à l'intelligence artificielle.


La théorie des sous-ensembles flous

Zadeh a posé la première pièce de l'édifice en 1965 par la théorie des sous-ensembles flous. Dans la théorie classique des ensembles, un élément d'un ensemble de référence peut, soit ne pas appartenir (0), soit appartenir (1) à un sous-ensemble. L'appartenance est donc pensée de manière binaire.

  • La notion de niveau d'appartenance. La théorie des sous-ensembles flous assouplit cette notion d'appartenance en la relativisant, soit en la définissant par un nombre réel (appelé niveau d'appartenance) allant de 0 (pas du tout) à 1 (absolument). L'exemple qui suit illustre la notion de niveau d'appartenance.

    Illustration de la notion de niveau d'appartenance.

  • Les opérations sur des sous-ensembles flous. La théorie des sous-ensembles flous se pose comme une extension de la théorie classique des ensembles. Elle redéfinit de fait toutes ses notions, Ainsi des opérations sur les ensembles que sont l'intersection, la réunion et le complémentaire. Un client est considéré comme tout à fait "proche" d'un hypermarché si le temps pour s'y rendre depuis son domicile est de moins de 5 minutes. Au delà de 10 minutes, il n'est plus du tout considéré comme tel.

    Illustration de la notion de sous-ensembles flous.

  • Produit cartésien, relations floues. La théorie des sous-ensembles flous étend bien sûr les notions de produit cartésien, de relation binaire floue, de composition de relations. Les propriétés des relations sont également redéfinies (réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité), aboutissant à la définition de relation de similarité (extension de la notion de relation d'équivalence), et de relation d'ordre flou. On disposera alors d'outils permettant de résoudre des problèmes de classification et de reconnaissance.
  • Nombres flous. La théorie des sous-ensembles flous s'intéresse aussi aux ensembles de nombres, et introduit la notion de nombre flou (un nombre flou réel étant en fait un sous-ensemble flou de R). Tous les opérateurs arithmétiques classiques sont aussi redéfinis pour pouvoir effectuer du "calcul flou".


La théorie des possibilités

Si la théorie des sous-ensembles flous assouplit le cadre de la théorie classique des ensembles pour pouvoir traiter l'imprécision, la théorie des possibilités propose un cadre permettant de traiter les incertitudes difficiles, voire impossibles à traiter par la théorie des probabilités. En effet, raisonner en termes de probabilités suppose de pouvoir définir la probabilité de chaque événement. Pour cela, il faut en avoir une bonne connaissance. Si cette connaissance n'est pas disponible, alors on raisonne en termes de possibilité (et de son dual, nécessité).

Comparaison entre l'approche probabiliste et l'approche possibiliste.

La théorie des possibilités définit aussi, à l'instar de celle des probabilités, les notions de possibilité conjointe, de possibilité marginale et de possibilité conditonnelle, fournissant le moyen de traiter l'occurence simultanée d'événements.


Le raisonnement approximatif

Les théories précédentes fournissent des moyens de représenter des propositions imprécises et (ou) incertaines. Ces dernières peuvent devenir prémisses à un raisonnement et permettent d'aboutir à une conclusion. Encore faut-il pour cela assouplir les règles de déduction de la logique classique. C'est tout le but du raisonnement approximatif.

Les premières tentatives on consisté en la proposition de nouvelles tables de vérité pour des valeurs intermédiaires (0, ½, 1). Mais elles s'avèrent encore insuffisantes pour manipuler des connaissances imparfaites.

  • Implication floue. La logique floue définit la notion d'implication floue (une implication est de la forme "Si A, alors B"). Il y a de nombreuses manières de la définir en logique floue et elle a fait l'objet de beaucoup de travaux de recherche. En guise d'exemple de l'implication floue, penchons-nous sur l'implication suivante : "Si une firme est rentable, le prix de son action est élevé".
  • Modus ponens généralisé. Le modus ponens est une règle de déduction telle que si on a : A => B et A, alors on peut en déduire B. En raisonnement approximatif, on redéfinit ici le "modus ponens généralisé" (de manière trop compliquée pour trouver sa place dans cet article ; le lecteur souhaitant en savoir plus se reportera à La logique floue et ses applications, B. Bouchon-Meunier,Ed. Addison-Wesley).

Retrouvez une illustration du modus ponens généralisé à la suite de l'exemple sur l'implication floue.


Le contrôle flou

Les applications pratiques de la logique floue sont nombreuses et diverses et il serait difficile de toutes les citer ici. Néanmoins il est impossible de passer sous silence le "contrôle flou". Dès sa naissance vers 1975 (Mamdani), les réalisations industrielles n'ont pas tardé à apparaître (automatisme, robotique, intelligence artificielle...). Un contrôleur flou se comporte comme un approximateur capable de calculer un résultat non-flou depuis plusieurs variables non-floues elles aussi, mais par le biais d’un processus de raisonnement flou.

  • Le premier traitement des données soumises consiste en la fuzzification, soit la transformation de données non-floues (crisp) en données floues.
  • Le noyau du contrôleur se décompose en deux parties, l’une statique, l’autre dynamique. La partie statique consiste en une base de connaissances floues. Elle traduit le jugement de l’expert. Ce procédé est particulièrement adapté pour traduire des appréciations « à l’estime ». Les processus mentaux de décision ne sont pas des équations.
  • La partie dynamique du noyau est en fait le moteur d’inférences floues. C’est lui qui appliquera les règles et agrègera les résultats.
  • L’obtention du résultat crisp s’obtiendra par l’opération de défuzzification tel que décrite par Mamdani. Le schéma qui suit tente d’en résumer le principe :

Schéma de principe d'un contrôleur flou

Le contrôle flou est :

  • Robuste
  • Polyvalent (facilement adaptable à des domaines divers)
  • indispensable sur des applications sur lesquelles on ne dispose pas de modèle mathématique efficace
  • Rapide dans des applications temps-réel (informatique industrielle, automatismes...)
  • Aisé à optimiser : assez curieusement, on constate que l'optimisation consiste souvent à supprimer des règles, bref, à simplifier la base de connaissances.

Le lecteur qui souhaite approfondir cette partie pourra parcourir le site http://dgentili.freesurf.fr. Il y trouvera, outre plusieurs articles de vulgarisation du contrôle flou, plusieurs exemples de mise en oeuvre.


Conclusion

Assouplir les règles de représentation et de traitement des connaissances imparfaites. Telle est la vocation de la logique floue, s'inspirant du raisonnement humain pour fournir un cadre théorique à des applications pratiques nombreuses et diverses ayant trait peu ou prou à l'intelligence artificielle.

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© Auteur de l'article : Dominique Gentili