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La logique floue
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Approches probabiliste et possibiliste

L'exemple qui suit tente d'établir une comparaison entre l'approche probabiliste et l'approche possibiliste, dont il est fait mention dans l'article de Dominique Gentili sur la logique floue. Soit X un ensemble de référence (l'ensemble des possibles), P(X) l'ensemble des parties de X. On attribue à chaque élément de P(X) un coefficient de possibilité compris entre 0 (tout-à-fait impossible) et 1 (tout-à-fait possible), de telle manière que :

  • La possibilité de Æ (ensemble vide) soit 0
  • La possibilité de X soit 1
  • Quels que soient A et B deux éléments de P(X), de coefficients de possibilité respectivement a et b, la possibilité de A È B (A union B) est égale à max(a;b).

Soit X={J , JPlus1 , JPlus2 , JPlus3 , JPlus4 , JPlusn} représentant les jours consécutifs à l'envoi d'un courrier.

Jour Approche probabiliste
Probabilité Pr({Jour})
Approche possibiliste
Possibilité P({Jour})
J 0,00 0,00
JPlus1 0,25 1,00
JPlus2 0,55 1,00
JPlus3 0,10 1,00
JPlus4 0,07 0,50
JPlusn 0,03 0,30
Exemple : le courrier peut-il nous parvenir au plus à ?
Jour Approche probabiliste Approche possibiliste
Calcul 0 + 0,25 + 0,55 max (0;1;1)
Résultat probable à 80% tout-à-fait possible

Pour mieux cerner la probabilité inconnue d'un événement on tente de l'encadrer par sa possibilité et sa nécessité. Soit A une partie de X. On définit de manière duale sa nécessité N(A) = 1 - P(Ac) où Ac est le complémentaire de A. En effet, au plus A est nécessaire, au moins son complémentaire est possible.

Reprenons l'exemple précédent, et cherchons à savoir pour « entre 1 et 3 jours », soit pour A={JPlus1,JPlus2,JPlus3}.

  • Possibilité : P(A) = max(1;1;1) = 1;
    Tout-à fait possible (1)
  • Nécessité : N(A) = 1-P({J,JPlus4,JPlusn} = 1-max(0;0,50;0,30) = 1-0,50 = 0,50;
    Moyennement nécessaire (0,50)
  • Probabilité : Pr(A) = 0,25 + 0,55 + 0,10 = 0,90;
    Probable à 90 %

NB : si tout-à-fait possible et moyennement nécessaire, on peut s'attendre à ce que la probabilité soit élevée (entre 50% et 100%). En fait, N(A) £ Pr(A) £ P(A).

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