Variables aléatoires

Soit dans une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l'espérance mathématique m, la proportion p et l'écart type s sont inconnus.

Les variables aléatoires discrètes

Elles peuvent prendre un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs entières
E(X)=åxipi
V(X)=E(X²)-E(X)
s(X)=√(0(X))

1) Propriétés de E(X) :
E(aX)=aE(X)
E(aX+b)=aE(X)+b

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(XY)=E(X)*E(Y)

2) Propriétés de V(X) :
V(aX)=a²V(X)
V(aX+b)=V(aX)

Si X et Y sont indépendantes :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Si X et Y ne sont pas indépendantes :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2COV(X,Y) avec COV(X,Y)=E[(X-E(X)(Y-E(Y)]

Les variables aléatoires continues

Elles peuvent prendre toutes les valeurs comprises dans un intervalle (a,b)

1) Fonction de répartition
F(X)=P(X<x)     Fonction strictement croissante

2) Densité de probabilité
P(a≤X≤b)=∫(a,b)f(X)d(x) = F(b)-F(a)

E(X)=∫(a,b)xf(X)d(x)
V(X)=∫(a,b)x²f(X)d(x)-[E(X)]²
s(X)=∫(V(X))

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